1 + 1 = 0 und 1 = 2 (ich kann's beweisen)
Freitag 16. November 2007 von
Simon Praetorius
Damit kann man sicher Einige verblüffen: Wie kann man beweisen, dass 1+1=0 oder, dass 1=2, ohne gleich in speziellen Körpern oder ähnlichen mathematischen Objekten zu rechnen oder irgendwas umzudefinieren? Natürlich stimmen diese Aussagen nicht, man kann aber sehr schöne "Scheinbeweise" finden, die ein paar kleine mathematische Fehler versteckt haben und so diese Aussagen scheinbar beweisen.
Wer von euch findet die Fehler?
Beweis von 1+1=0
Es gilt -1 = -1 Damit auch
Wenn man auf beiden Seiten nun die Wurzel zieht, folgt:
| √( | -1 1 | ) = √( | 1 -1 | ) ⇒ | i 1 | = | 1 i | |
Multipliziert man nun auf beiden Seite die komplexe Zahl i, dann folgt:
| i2 1 | = 1 ⇒ -1 = 1 ⇒ 1 + 1 = 0 |
q.e.d.
Beweis von 1=2
Es gilt x = x Beide Seiten werden quadriert:
und von beiden Seiten subtrahiert
Wir führen nun auf beiden Seiten Umformungen der Terme durch:
| x ⋅ (x - x) = (x + x) ⋅ (x - x) |
Nun können wir (x-x) kürzen und es folgt:
Und speziell für x:=1 folgt 1 = 1+1 = 2
q.e.d.
Update: Habe noch einen schönen Beweis gefunden:
|
1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1
|
q.e.d.
Moin,
ich komme aus der neunten Klasse einer realschule und mein Lehrer meinte, das man mit einer DinA4 beweisen kann das 1+1=2 ist! So bin ich dann auch auf diese Seite gekommen und es trifft sich, das wir heute im Untericht mit Wurzeln und so gearbeitet haben!
Oben nimmst du die -1/1 mit ner Wurzel, aber man kann die Wurzel aus -1 doch garnicht ziehen, oder irre ich mich da?
Doch, das kann man. Dazu müsst ihr allerdings "komplexe Zahlen" kennen, was in der 9. Klasse normalerweise noch nicht gelernt wird. Manche Schulen haben das in der Oberstufe 11/12 oder 13. Klasse. Wir hatte komplexe Zahlen in der Schule nicht behandelt.
die Wurzel aus -1 definiert man als eine Zahl mit der Bezeichnung i, d.h. die Wurzel aus -1 kann man sehr wohl ziehen.
Allerdings ist für deine Aufgabe (1+1=2) doch eher der 2. Beweis interessant. Das steht dort ja in der letzten Zeile :)
lg Simon
Sorry, hab mich bei deinem Kommentar etwas verlesen. Stimmt natürlich trotzdem noch, was ich gesagt habe, allerdings habe ich hier nicht bewiesen, dass 1+1=2 ist. Das muss man sicher anders machen.
Z.B. diehe dazu Wikipedia
Hi,
zum 2. Beweis. Man kann nicht mit (x-x) kürzen (was das gleiche ist wie dividieren), da (x-x) = 0 ist. :)
Super!! Das Divisieren durch Null ist ein häufiger Fehler in Rechnungen, da sich diese Division manchmal sehr versteckt. Teilt man z.B. durch eine Funktion, wie sin(x), oder x^2+x-3, dann werden an allen Nullstellen dieser Funktionen Divisionen durch 0 durchgeführt und wenn man nicht aufpasst, hat das schwerwiegende Konsequenzen.
Beweis 1+1 = 0
Mit Betragstrichen wäre das nicht passiert :)
-1/1=1/-1 ⇒ -1=-1, then, there is not contradiction.
in the next "proof":
1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1
the mistake is that √((-1)*(-1))=√(-1)²=|-1|=|1|=1, then 1=1
for x⋅(x - x) = (x + x)⋅(x - x)
remember thar x-x=0, thus, your next step is wrong
"Nun können wir (x-x) kürzen und es folgt:
x = x + x"
you cannot do that because the division by 0 is not defined, then after x⋅(x - x) = (x + x)⋅(x - x) you will have x⋅0=(x+x)⋅0 ⇒ 0=0
The proofs starts with true statements, but one implication is not completely true. In the first "proof" the initial statement is true, as well. Your second argument is better and I think you've got the reight idea. The third explanation is fine :)
Wenn Jemand weitere spannende Fake-Beweise hat, kann er sie auch gerne hier posten!
1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1
der fehler ist beim schritt √(-1)*√(-1) = (√(-1))2.. denn √(-1)*√(-1) ist doch = √((-1)*(-1)) und das ist = √((-1)²).. und das ist 1, und nicht gleich i², sprich -1.
oder?
fuck.. schon gelöst.. ;)
na ja.. finds trotzdem cool dass es immernoch welche gibt die ahnung von mathe haben und's nicht hassen..*grins*
'mathe-könner' sind sexy.. ^^
bzw allgemein intelligenz an sich ist sexy.. wenn man das einfach so behaupten kann ;P
der zweitletzte schritt ist nich erlaubt.
√(-1) hatt zwei lösungen, die da wären: +i und -i. Man darf nicht nur die eine lösung "doppelt zählen". Wenn man beide Lösungen miteinander multipliziert ergibt sich folgendes: (+i)*(-i) = -(i^2) = -(-1) = +1, und die welt ist wieder in ordnung ;-)
5 + 2 = 7
<=> 5 * (5 + 2) = 5 * 7
<=> 25 + 10 = 35
<=> 25 + 10 - 35 = 35 - 35
<=> 25 + 10 - 35 = 35 - 35 - 14 + 14
<=> 25 + 10 - 35 = 35 + 14 - 49
<=> 5 * (5 + 2 - 7) = 7 * (5 + 2 - 7)
<=> 5 = 7
q.e.d
;-)
@Cefi: das entspricht in etwa meinem zweiten "Beweis" für konkrete Zahlen
i / 1 ist nicht gleich 1 / i !!!
i / 1 ist nämlich i und 1 / i ist -1
Sorry ich meine natürlich 1 / i = -i
Äußerst anschauliche Thesen. Ich werde mich erstmal daran machen und in den nächsten 20 Jahren meines Lebens beweisen dass dem nicht so ist. Viel Spaß ihr nicht Mathematiker!
dividieren durch in der Mathematik ist immer unzulässig, außer bei grenzberechnungung, dann reden wir von unendlichkeit. in dem Sinne viel spass.
eine "Frage" zu 1=2
also.
wir haben den schritt x2 (hoch 2. ich bekomme es aber nicht hoch!)
x2 - x2 = x2 - x2
x * (x-x) = (x+x) * (x-x)
anschließen ja -(x*x).
man kann dies nicht einfach wegnehmen, weil es gilt: punkt vor strich. und demnach müsste es heißen:
x * (x-x) - (x-x) = (x+x) * (x-x) - (x-x).
dann müsste das Mal zuerst ausgerechnet werden, oder?
Bitte antworten!
mit (x-x) kürzen meine ich: Divison auf beiden Seiten durch (x-x), nicht Subtraktion
natürlich lässt sich die Division durch 0 in diesem Fall durchführen, da 0*0=0 gilt, im Umkehrschluss 0/0=0 , also wenn man auf beiden Seiten durch 0 teilt.
Die Misere an der Saxhe ist nur, das im Gegensatz zu jeder anderen durch sich selbst geteilten Zahl bei der 0 wiederum 0 herauskommt (siehe Gleichung) weshalb diese oben genannte Gleichung immer noch falsch ist.
Schöner Gedanke, leider ist er falsch. Es wäre so toll, wenn 0/0=0, allerdings ist Division wirklich nicht definiert. Es ist sogar so, dass 0/0 irgendein beliebiges Ergebnis haben kann. Ein Beispiel: betrachte den Term (2x)/x. Wenn du für x Null einsetzt, dann steht da erstmal 0/0, denn 2*0=0, wenn du dich allerdings ganz langsam an die null näherst, z.B. erst x=1, dann x=0.1, dann x=0.01, x=0.001, usw. Was kommt dann raus? Du erhältst (2x)/x -> 2 für x->0. Weil ich erstmal nicht weiß, was 0/0 ist bilde ich den Grenzwert. Und wenn man den Grenzwert auf beliebige Weise bildet, wird immer 2 raus kommen, NICHT 0. Genau so kann ich auch ein Beispiel konstruieren, wo genau 42 raus kommt, also bekommen wir aus 0/0 die Antwort auf alle Fragen ;)
10cent = 1/10euro = 1/5euro * 1/2euro = 20cent * 50cent = 1000cent = 10euro :-)
1/10 € ist nicht gleich 1/5 € * 1/2 € sondern 1/5*1/2 € ansonsten hätten wir ja €² also eine ganz neue Einheit. Genau so sind 20ct * 50 ct nicht 1000 ct sondern 1000 ct² !
Wenn ich 1/5*1/2 € in ct umrechnen will muss ich mit 100 multiplizieren: 100*1/5*1/2 ct und das sind 10 ct im Beispiel wird mit 100² multipliziert, daher ist das Ergebnis um den Faktor 100 daneben.
Wär aber ne tolle Geldmaschine :D
Also
1+1=0 im F2
1+1=2 in den allgemein bekannten körpern
1+1=10 im binärsystem
mathematik ist irre!!!
Jetz weiß ich wenigstens das ,wenn man zu blöd zum kürzen ist(Beweis 2), ich auch ein 2€ artikel mit nem 1€ stück bezahlen kann!
Die rechnung is total richtig da keine zahlen verwendet werden.
Also 1,99€ mit 1€ bezahlen und sogar 1ct zurück bekommen!
^^
ummm, beim 2ten Beweiß liegt der Fehler doch in der nicht näher genannten Umformung.
Denn x²-x²ist zwar x*x-x*x oder auch x*(x-x) aber nicht (x+x)*(x-x), da dieses auch 2x*(x-x) oder 2x²-2x² ist.... Mathe ist jetzt schon nen weilchen her, aber es wäre doch interessant wenn Sie ausführen würden wo welche Umformungen durchgeführt worden sind.
Viel besser finde ich den Beweiß 5=7 von Cefi auch wenn imho ein Schritt zur Vollständigkeit fehlt. vor Punkt 5 müßte noch eingefügt werden:
25 + 10 - 35 -14 = 35 - 35 - 14
Seit Punkt 3 arbeitet man faktisch mit der Formel 0=0. Und genau da liegt auch der Haken, im vorletzten schritt wo man so schön
[5 * (5 + 2 - 7) = 7 * (5 + 2 - 7) ] den Term "(5 + 2 - 7)" auf beiden Seiten hat, der sich ja wunderbar wegkürzen ließe, wenn, ja wenn man dort nicht faktisch durch Null teilen würde.
Rechnet einfach mal die klammer zuerst aus, und versucht sie dann wegzukürzen.
Dein letzter Beweis kann ja gar nicht stimmen weil er dem ersten wiederspricht. Da meinst Du durch missachten mehrer mathematischen Regeln 1+1 würde 0 ergeben. Im letzten Beweis kommst du wiederum durch nichtbeachten einfachster Mathematik auf die Endformel X=x+x. X sei nun 1 -> 1=1+1 -> demnach wäre laut deiner Laienlogik 1=0. Denk darüber nach!
@Philipp: genau diese offensichtlichen Widersprüche wollte ich erzeugen. Man lernt daraus: Missachtung elementarer Rechenregeln, z.B. Division durch 0 nicht erlaubt, kann zu willkürlichen und widersprüchlichen Ergebnissen führen. Deswegen sagt man gerade, dass Division durch 0 nicht definiert ist.
OK...jetzt verstehe ich was gemeint ist...vielleicht hätte ich mal nachdenken sollen. Muss mich für meinen Kommentar entschuldigen...bin aber immer noch der Meinung, dass wenn ich einen Apfel habe und bekomme noch einen geschenkt, ich zwei Äpfel habe und nicht keinen :D