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Der Fussball als mathematisches Objekt

Mittwoch 17. Februar 2010 von
Simon Praetorius
Fussbälle sind nicht nur für den Sport eine tolle Sache. Auch mathematisch betrachtet sind sie spannende Objekte, denn sie sind sogenannte platonische Körper (reguläre Polyeder) - ein Fussball besteht aus Fünf- und Sechseckigen Flecken, die in einer Reihenfolge aneinandergenäht sind. Jedes Fünfeck hat 5 Sechsecke als Nachbarn und jedes Sechseck abwechselnd ein Fünfeck und ein Sechseck. Wenn man so Fünf- und Sechsecke mit gleicher Seitenlänge aneinandernäht entsteht zwangsläufig ein geschlossenes Objekt, annährend eine Kugel. Man nennt Fussball unter den platonischen Körpern auch abgestumpftes Ikosaeder und das Verhältnis zwischen Innkugel- zu Umkugelradius beträgt 91.5%, d.h. der Fussball ist schon sehr nahe an einer Kugel dran. Weitere platonische Körper und noch mehr Möglichkeiten einen Fussball zu erhalten findet man bei Werner Brefeld.

Fusball mit 12 schwarzen FleckenFusball mit 12 schwarzen Flecken
Die Nachbarschaftsbeziehung der einzelnen Flecken ist auch noch in einem anderen Sinne interessant. In der Physik gibt es das Thomson Problem (Nummer 7 auf Smale's Liste der ungelösten mathematischen Probleme), bei dem man nach der energieminimalen Anordnung von N Partikeln auf einer Kugeloberfläche fragt. Für eine Vielzahl von Werten für N hat man Konfigurationen berechnet, aber eine allgemeine Formel oder Berechnungsvorschrift gibt es noch nicht. In der Ebene ordnen sich Partikel in einer Hexagonalen Struktur an, d.h. jedes Partikel hat sechs Nachbarn, zu denen es den selben Abstand hat. Auf der Kugeloberfläche ist das allerdings so nicht möglich. Schon Euler hat gezeigt, dass es mindestens 12 Partikel mit nur 5 Nachbarn geben muss. Schaut man sich den Fussball an, stellt man fest, dass er gerade 12 schwarze Flecken mit 5 Ecken/Seiten also 5 Nachbarn hat und sonst nur Sechsecke mit 6 Nachbarn. Und in der Tat ergibt sich genau die Fussball-Konfiguration, wenn man das Thomson-Problem mit N=32 löst, wobei jedes Partikel nun eine Fläche des Fussballs repräsentiert. Löst man das Thomson-Problem für N=12, also N ist gleich der Anzahl an 5-Ecken auf dem Fussball, ordnen sich die Partikel genau so an, wie die 5-Ecke auf dem Fussball.
Tennisball
Golfball
Vorschaubild
Mit anderen physikalischen Modellen erhält man manchmal auch andere Sportbälle, wie etwas, das ein wenig nach einem Tennisball aussieht, oder wie ein Golfball. Diese Bilder gehen auf die Lösung einer Phase-Field-Crystal Gleichung zurück. Dies ist eine partielle Differentialgleichung 6.Ordnung, die auf einer Kugeloberfläche S gelöst wird:
tρ=ΔS[(r+1)ρ+2ΔSρ+ΔS2ρ+ρ3]
Mathematisch ein sehr anspruchsvolles Problem. Trotzdem ergeben sich doch sehr anschauliche Bilder als Lösung.

In einem Vortrag für das Kolloquium Numerische Mathematik Süd-Ostdeutschland habe ich dieses Problem mathematisch analysiert und vorgestellt und auch erwähnt, wie man die erwähnte Gleichung lösen kann. Wen dieses Thema weiter interessiert, kann die Vortrag hier herunterladen.
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