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Interpolationsaufgaben

Dienstag 07. November 2006 von Simon Praetorius
Eine Funktion linear interpoliertEine Funktion linear interpoliert
Wenn von einer Funktion nur einige Stützstellen mit zugehörigen Stützwerten gegeben ist, also z.B. eine Messreihe in einem physikalischen Experiment, man möchte aber die Werte haben, die nicht in der Tabelle gegeben sind, dann kommt Interpolation ins Spiel. Die einfachste Möglichkeit wäre, zwei Punkte einfach durch eine Gerade (lineare Funktion) zu verbinden und so eine grobe Näherung für den Wert zwischen den zwei Stützstellen zu bekommen. Das Bild zeigt eine solche Interpolation und es wird ersichtlich, dass lineare Interpolation nicht sehr gute Ergebnisse liefert (vor allem an Kurven mit starken Anstiegsänderungen - siehe Bereich um x=0 auf dem Bild).

Die Funktion könnte auch durch Polynome interpoliert werden, da durch je n+1 Punkte ein Polynom n-ten Grades "gelegt" werden kann. Dies ergiebt ein Gleichungssystem, dass gelöst werden müsste. Einige Mathematiker haben sich allerdings Verfahren ausgedacht, um die Berechnung der Parameter des gesuchten Polynoms auf einfache (oder einfach zu implementierende) Weise lösen. (u.a. Neville und Aitken)

Die Runge-Funktion durch verschiedene Polynome interpoliertDie Runge-Funktion durch verschiedene Polynome interpoliert
Man kann zeigen, dass es für jede Folge von Stützstellen eine Funktion existiert, so dass die Interpolation durch immer höhergradige Polynome die Funktion immer schlechter beschreibt (divergiert). Eine sehr bekannte Funktion, bei der "Standardinterpolation" bei gleichabständigen Sützstellen versagt, ist die [url http=http://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Funktion]Runge-Funktion[/url]. Ein alternativer Ansatz zur Interpolation mit Polynomen ist die Interpolation durch Splines, d.h. durch mehrere Polynome, die zusammengesetzt werden. Im oberen Bild ist ein linearer Spline abgebildet. Häufig werden Kubische Splines verwendet, bei denen Polynome 3. Grades in jedem Intervall zur Interpolation verwendet werden.

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