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1 + 1 = 0 und 1 = 2 (ich kann's beweisen)

Freitag 16. November 2007 von
Simon Praetorius
Damit kann man sicher Einige verblüffen: Wie kann man beweisen, dass 1+1=0 oder, dass 1=2, ohne gleich in speziellen Körpern oder ähnlichen mathematischen Objekten zu rechnen oder irgendwas umzudefinieren? Natürlich stimmen diese Aussagen nicht, man kann aber sehr schöne "Scheinbeweise" finden, die ein paar kleine mathematische Fehler versteckt haben und so diese Aussagen scheinbar beweisen.

Wer von euch findet die Fehler?

Beweis von 1+1=0


Es gilt -1 = -1 Damit auch
-1
1
=
1
-1
Wenn man auf beiden Seiten nun die Wurzel zieht, folgt:
√(
-1
1
) = √(
1
-1
) ⇒
i
1
=
1
i
Multipliziert man nun auf beiden Seite die komplexe Zahl i, dann folgt:
i2
1
= 1 ⇒ -1 = 1 ⇒ 1 + 1 = 0
q.e.d.

Beweis von 1=2


Es gilt x = x Beide Seiten werden quadriert:
x2 = x2
und von beiden Seiten subtrahiert
x2 - x2 = x2 - x2
Wir führen nun auf beiden Seiten Umformungen der Terme durch:
x ⋅ (x - x) = (x + x) ⋅ (x - x)
Nun können wir (x-x) kürzen und es folgt:
x = x + x
Und speziell für x:=1 folgt 1 = 1+1 = 2 q.e.d.

Update: Habe noch einen schönen Beweis gefunden:
1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1
q.e.d.
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53 Kommentare

  1. Freitag 30.11.2007 22:11 von
    Joshi

    Moin,
    ich komme aus der neunten Klasse einer realschule und mein Lehrer meinte, das man mit einer DinA4 beweisen kann das 1+1=2 ist! So bin ich dann auch auf diese Seite gekommen und es trifft sich, das wir heute im Untericht mit Wurzeln und so gearbeitet haben!
    Oben nimmst du die -1/1 mit ner Wurzel, aber man kann die Wurzel aus -1 doch garnicht ziehen, oder irre ich mich da?

  2. Freitag 30.11.2007 23:46 von
    Simon

    Doch, das kann man. Dazu müsst ihr allerdings "komplexe Zahlen" kennen, was in der 9. Klasse normalerweise noch nicht gelernt wird. Manche Schulen haben das in der Oberstufe 11/12 oder 13. Klasse. Wir hatte komplexe Zahlen in der Schule nicht behandelt.
    die Wurzel aus -1 definiert man als eine Zahl mit der Bezeichnung i, d.h. die Wurzel aus -1 kann man sehr wohl ziehen.
    Allerdings ist für deine Aufgabe (1+1=2) doch eher der 2. Beweis interessant. Das steht dort ja in der letzten Zeile :)
    lg Simon

  3. Samstag 01.12.2007 00:01 von
    Simon

    Sorry, hab mich bei deinem Kommentar etwas verlesen. Stimmt natürlich trotzdem noch, was ich gesagt habe, allerdings habe ich hier nicht bewiesen, dass 1+1=2 ist. Das muss man sicher anders machen.
    Z.B. diehe dazu Wikipedia

  4. Freitag 06.02.2009 13:38 von
    Micha

    Hi,

    zum 2. Beweis. Man kann nicht mit (x-x) kürzen (was das gleiche ist wie dividieren), da (x-x) = 0 ist. :)

  5. Samstag 14.02.2009 23:23 von
    SimonPraetorius

    Super!! Das Divisieren durch Null ist ein häufiger Fehler in Rechnungen, da sich diese Division manchmal sehr versteckt. Teilt man z.B. durch eine Funktion, wie sin(x), oder x^2+x-3, dann werden an allen Nullstellen dieser Funktionen Divisionen durch 0 durchgeführt und wenn man nicht aufpasst, hat das schwerwiegende Konsequenzen.

  6. Mittwoch 03.06.2009 11:30 von
    meins

    Beweis 1+1 = 0

    Mit Betragstrichen wäre das nicht passiert :)

  7. Samstag 03.10.2009 03:33 von
    tlacochcalcatlIzcoh

    -1/1=1/-1 ⇒ -1=-1, then, there is not contradiction.

    in the next "proof":
    1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1
    the mistake is that √((-1)*(-1))=√(-1)²=|-1|=|1|=1, then 1=1

    for x⋅(x - x) = (x + x)⋅(x - x)
    remember thar x-x=0, thus, your next step is wrong
    "Nun können wir (x-x) kürzen und es folgt:
    x = x + x"
    you cannot do that because the division by 0 is not defined, then after x⋅(x - x) = (x + x)⋅(x - x) you will have x⋅0=(x+x)⋅0 ⇒ 0=0

  8. Samstag 17.10.2009 11:01 von
    SimonPraetorius

    The proofs starts with true statements, but one implication is not completely true. In the first "proof" the initial statement is true, as well. Your second argument is better and I think you've got the reight idea. The third explanation is fine :)

    Wenn Jemand weitere spannende Fake-Beweise hat, kann er sie auch gerne hier posten!

  9. Samstag 02.01.2010 23:07 von
    IchMagMatheP

    1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1

    der fehler ist beim schritt √(-1)*√(-1) = (√(-1))2.. denn √(-1)*√(-1) ist doch = √((-1)*(-1)) und das ist = √((-1)²).. und das ist 1, und nicht gleich i², sprich -1.

    oder?

  10. Samstag 02.01.2010 23:22 von
    IchMagMatheP

    fuck.. schon gelöst.. ;)

    na ja.. finds trotzdem cool dass es immernoch welche gibt die ahnung von mathe haben und's nicht hassen..*grins*
    'mathe-könner' sind sexy.. ^^
    bzw allgemein intelligenz an sich ist sexy.. wenn man das einfach so behaupten kann ;P

  11. Montag 25.01.2010 19:09 von
    moriko

    der zweitletzte schritt ist nich erlaubt.
    √(-1) hatt zwei lösungen, die da wären: +i und -i. Man darf nicht nur die eine lösung "doppelt zählen". Wenn man beide Lösungen miteinander multipliziert ergibt sich folgendes: (+i)*(-i) = -(i^2) = -(-1) = +1, und die welt ist wieder in ordnung ;-)

  12. Freitag 07.05.2010 19:16 von
    Cefi

    5 + 2 = 7
    <=> 5 * (5 + 2) = 5 * 7
    <=> 25 + 10 = 35
    <=> 25 + 10 - 35 = 35 - 35
    <=> 25 + 10 - 35 = 35 - 35 - 14 + 14
    <=> 25 + 10 - 35 = 35 + 14 - 49
    <=> 5 * (5 + 2 - 7) = 7 * (5 + 2 - 7)
    <=> 5 = 7
    q.e.d

    ;-)

  13. Dienstag 18.05.2010 15:01 von
    Admin

    @Cefi: das entspricht in etwa meinem zweiten "Beweis" für konkrete Zahlen

  14. Samstag 10.07.2010 17:45 von
    Alex

    i / 1 ist nicht gleich 1 / i !!!

    i / 1 ist nämlich i und 1 / i ist -1

  15. Samstag 10.07.2010 17:45 von
    Alex

    Sorry ich meine natürlich 1 / i = -i

  16. Dienstag 17.08.2010 01:38 von
    Mathegenie

    Äußerst anschauliche Thesen. Ich werde mich erstmal daran machen und in den nächsten 20 Jahren meines Lebens beweisen dass dem nicht so ist. Viel Spaß ihr nicht Mathematiker!

  17. Dienstag 17.08.2010 13:41 von
    Zetzer

    dividieren durch in der Mathematik ist immer unzulässig, außer bei grenzberechnungung, dann reden wir von unendlichkeit. in dem Sinne viel spass.

  18. Dienstag 17.08.2010 16:44 von
    kpcc

    eine "Frage" zu 1=2

    also.
    wir haben den schritt x2 (hoch 2. ich bekomme es aber nicht hoch!)
    x2 - x2 = x2 - x2
    x * (x-x) = (x+x) * (x-x)
    anschließen ja -(x*x).
    man kann dies nicht einfach wegnehmen, weil es gilt: punkt vor strich. und demnach müsste es heißen:
    x * (x-x) - (x-x) = (x+x) * (x-x) - (x-x).
    dann müsste das Mal zuerst ausgerechnet werden, oder?
    Bitte antworten!

  19. Mittwoch 18.08.2010 17:02 von
    SimonPraetorius

    mit (x-x) kürzen meine ich: Divison auf beiden Seiten durch (x-x), nicht Subtraktion

  20. Sonntag 24.10.2010 03:54 von
    blackangel

    natürlich lässt sich die Division durch 0 in diesem Fall durchführen, da 0*0=0 gilt, im Umkehrschluss 0/0=0 , also wenn man auf beiden Seiten durch 0 teilt.
    Die Misere an der Saxhe ist nur, das im Gegensatz zu jeder anderen durch sich selbst geteilten Zahl bei der 0 wiederum 0 herauskommt (siehe Gleichung) weshalb diese oben genannte Gleichung immer noch falsch ist.

  21. Montag 25.10.2010 19:43 von
    SimonPraetorius

    Schöner Gedanke, leider ist er falsch. Es wäre so toll, wenn 0/0=0, allerdings ist Division wirklich nicht definiert. Es ist sogar so, dass 0/0 irgendein beliebiges Ergebnis haben kann. Ein Beispiel: betrachte den Term (2x)/x. Wenn du für x Null einsetzt, dann steht da erstmal 0/0, denn 2*0=0, wenn du dich allerdings ganz langsam an die null näherst, z.B. erst x=1, dann x=0.1, dann x=0.01, x=0.001, usw. Was kommt dann raus? Du erhältst (2x)/x -> 2 für x->0. Weil ich erstmal nicht weiß, was 0/0 ist bilde ich den Grenzwert. Und wenn man den Grenzwert auf beliebige Weise bildet, wird immer 2 raus kommen, NICHT 0. Genau so kann ich auch ein Beispiel konstruieren, wo genau 42 raus kommt, also bekommen wir aus 0/0 die Antwort auf alle Fragen ;)

  22. Mittwoch 02.02.2011 15:54 von
    kasia

    10cent = 1/10euro = 1/5euro * 1/2euro = 20cent * 50cent = 1000cent = 10euro :-)

  23. Mittwoch 02.02.2011 21:31 von
    CarlFriedrich

    1/10 € ist nicht gleich 1/5 € * 1/2 € sondern 1/5*1/2 € ansonsten hätten wir ja €² also eine ganz neue Einheit. Genau so sind 20ct * 50 ct nicht 1000 ct sondern 1000 ct² !
    Wenn ich 1/5*1/2 € in ct umrechnen will muss ich mit 100 multiplizieren: 100*1/5*1/2 ct und das sind 10 ct im Beispiel wird mit 100² multipliziert, daher ist das Ergebnis um den Faktor 100 daneben.
    Wär aber ne tolle Geldmaschine :D

  24. Sonntag 27.03.2011 03:38 von
    TheMathteacher

    Also
    1+1=0 im F2
    1+1=2 in den allgemein bekannten körpern
    1+1=10 im binärsystem
    mathematik ist irre!!!

  25. Sonntag 11.09.2011 15:39 von
    Tony

    Jetz weiß ich wenigstens das ,wenn man zu blöd zum kürzen ist(Beweis 2), ich auch ein 2€ artikel mit nem 1€ stück bezahlen kann!
    Die rechnung is total richtig da keine zahlen verwendet werden.
    Also 1,99€ mit 1€ bezahlen und sogar 1ct zurück bekommen!
    ^^

  26. Dienstag 04.10.2011 03:21 von
    Heiko

    ummm, beim 2ten Beweiß liegt der Fehler doch in der nicht näher genannten Umformung.
    Denn x²-x²ist zwar x*x-x*x oder auch x*(x-x) aber nicht (x+x)*(x-x), da dieses auch 2x*(x-x) oder 2x²-2x² ist.... Mathe ist jetzt schon nen weilchen her, aber es wäre doch interessant wenn Sie ausführen würden wo welche Umformungen durchgeführt worden sind.

    Viel besser finde ich den Beweiß 5=7 von Cefi auch wenn imho ein Schritt zur Vollständigkeit fehlt. vor Punkt 5 müßte noch eingefügt werden:
    25 + 10 - 35 -14 = 35 - 35 - 14
    Seit Punkt 3 arbeitet man faktisch mit der Formel 0=0. Und genau da liegt auch der Haken, im vorletzten schritt wo man so schön
    [5 * (5 + 2 - 7) = 7 * (5 + 2 - 7) ] den Term "(5 + 2 - 7)" auf beiden Seiten hat, der sich ja wunderbar wegkürzen ließe, wenn, ja wenn man dort nicht faktisch durch Null teilen würde.
    Rechnet einfach mal die klammer zuerst aus, und versucht sie dann wegzukürzen.

  27. Montag 16.01.2012 15:38 von
    Philipp

    Dein letzter Beweis kann ja gar nicht stimmen weil er dem ersten wiederspricht. Da meinst Du durch missachten mehrer mathematischen Regeln 1+1 würde 0 ergeben. Im letzten Beweis kommst du wiederum durch nichtbeachten einfachster Mathematik auf die Endformel X=x+x. X sei nun 1 -> 1=1+1 -> demnach wäre laut deiner Laienlogik 1=0. Denk darüber nach!

  28. Mittwoch 18.01.2012 18:58 von
    SimonPraetorius

    @Philipp: genau diese offensichtlichen Widersprüche wollte ich erzeugen. Man lernt daraus: Missachtung elementarer Rechenregeln, z.B. Division durch 0 nicht erlaubt, kann zu willkürlichen und widersprüchlichen Ergebnissen führen. Deswegen sagt man gerade, dass Division durch 0 nicht definiert ist.

  29. Freitag 20.01.2012 07:45 von
    Philipp

    OK...jetzt verstehe ich was gemeint ist...vielleicht hätte ich mal nachdenken sollen. Muss mich für meinen Kommentar entschuldigen...bin aber immer noch der Meinung, dass wenn ich einen Apfel habe und bekomme noch einen geschenkt, ich zwei Äpfel habe und nicht keinen :D

  30. Donnerstag 09.02.2012 20:05 von
    Andreas

    1= +-√1
    für +: √1=√(+1)*(+1)=√+1 * √+1=√+1^2=1
    für -: -√1=-√(-1)*(-1)=-(√-1 * √-1)=-√-1^2=-(-1)=1

  31. Mittwoch 15.02.2012 19:46 von
    Carsten

    1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = (√(-1))2 = i2 = -1 ist falsch, da sqrt(-1) nach wie vor nicht definiert ist. es gilt nur i²=-1, nicht aber i=sqrt(-1), das ist keine erlaubte Äquivalenzumformung.
    Bsp.:
    x²=-9
    Um auf das Ergebnis zu kommen muss man folgendermaßen umformen:
    x² = -9
    x² = 9i² |sqrt()
    x = |3i|
    x{1, 2} = (+/-) 3i

    und nicht etwa
    x² = -9 |sqrt()
    x = sqrt(-9)
    x = sqrt(-1)*sqrt(9)
    x = |i|*|9|
    x{1}=3i v x{2}=-3i v x{3}=3i v x{4}=-3i
    also x{1, 2} = (+/-) 3i

    Die Ergebnisse sind hier zwar gleich, trotzdem ist diese Umformung auf diese Weise nicht erlaubt.
    -√1=-√(-1)*(-1)=-(√-1 * √-1)=-(√-1)^2=-(-1)=1 ist auch falsch, da sqrt(-1)² nicht definiert ist, nicht erlaubte Operation.

    Auch bei den komplexen Zahlen ist das Ziehen der Wurzel aus einer negativen Zahl nicht erlaubt! Zuerst muss -1 durch i² ersetzt werden und erst dann darf die Wurzel gezogen werden, umgekehrt ist das nicht

  32. Donnerstag 01.03.2012 23:32 von
    Lel

    1 = √(1) = √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) = √(i²) * √(i²) = i * i = i² = -1 . Also so kenn ich diesen "Beweis", mag sein das man sich beim Ziehen der Wurzel streiten kann, es gibt aber davor schon einen Fehler und zwar bei √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) , die Umformung ist schon nicht korrekt, weil nicht erlaubt, mehr verrate ich mal noch nicht :) Das Argument das 1 = +- √(1) gelten muss find ich so nicht stichhaltig da das Wurzelzeichen wie hier geschrieben explizit für die positive Lösung steht.

  33. Montag 05.03.2012 12:22 von
    Dominik

    x-(6+3*7)=250 -> x-6-21=250 -> x-27=250 -> x=250+27 -> x=277
    falls x=1 -> 1=x=277 -> 1=277

    Danke!

  34. Montag 05.03.2012 12:24 von
    Dominik

    Next: 10:3=3,3333333333......(periode)
    3,33333333....(periode)*3=9,999999999(periode)
    ----> 10=9,99999999....(periode)

    Danke!

  35. Montag 05.03.2012 20:52 von
    SimonPraetorius

    Zu Kommentar 33: Das Problem ist, dass du eine falsche Annahme machst, nämlich x=1 (im Widerspruch zu x=277). Aus einer falschen Annahme kann man natürlich alles und nicht folgern. Eine Schlussfolgerung aus einer falschen Annahme ist nichts wert!

    Zu Kommentar 34: In der Tat ist 0.999999999... identisch zu 1, also ist es eine vollkommen richtige und nur wenig irreführende Aussage, wenn man weiß, dass es eigentlich .9 periode 9 nicht gibt.

  36. Dienstag 12.06.2012 02:52 von
    ichundnichtdu

    ihr könnt alle einfach nicht rechnen!

  37. Sonntag 08.07.2012 13:29 von
    ra

    alles falsch

  38. Freitag 24.08.2012 13:08 von
    Widamaker

    Also, ich bin zwar kein Matheexperte, aber ich hab mich auf dieser Seite köstlich AmÜsiert. Und ich kann euch Allen nur empfehlen: Lacht mal etwas mehr! Denn Spaß muss der Mensch verstehen, auch wenn es sich um Mathe handelt!

  39. Donnerstag 13.09.2012 10:18 von
    Daniel

    1. Beweis

    Wurzel aus -1 ist nicht nur +i, sondern + und - i

  40. Donnerstag 13.09.2012 10:20 von
    Daniel

    Dann ist eine Lösung:

    i=-1/i , mal i
    i^2= -1 , passt

  41. Samstag 06.10.2012 22:49 von
    Michi

    Kann mal bitte jemand den Fehler bei Beweis Nr. 1 erklären? Wurzel aus -1 hat zwei Lösungen, ok, und wie weiter? Welcher Schritt ist konkret falsch?

  42. Samstag 08.12.2012 17:31 von
    Marten

    Der Fehler im ersten Beweis liegt bei folgender Implikation:

    sqrt(-1/1) = sqrt(1/-1) => i/1 = 1/i.

    Die verwendete Umformung ist nur für positiv reelle Zahlen Gültig.
    Gruß Marten

  43. Samstag 08.12.2012 17:34 von
    Marten

    Analog dazu ist √((-1)*(-1)) = √(-1)*√(-1) nicht gültig, da -1 nicht Element des |R+ ist.

  44. Samstag 27.04.2013 03:14 von
    Nidham

    Man darf nicht dividieren durch (x-x).
    Durch Null darf man nicht. Das ist dein fehler

  45. Dienstag 14.05.2013 07:58 von
    StephanWild

    Du darfst keine Wurzel aus 1 negativen Zahl ziehen , sonst kannst du es immer so Anschreiben, dass alle Zahlen gleich Null sind. Schöne Grüße von meinem mathelehrer:D

  46. Dienstag 21.05.2013 07:31 von
    Lemp

    Schön ihr klugscheißer wie soll man etwas beweisen das schlichtweg falsch ist da die division durch null verboten ist ist jedes ergebniss das dabei heraus kommen sollte FALSCH und wie gesagt etwas das falsch ist kann man NICHT bweisen

  47. Dienstag 21.05.2013 07:42 von
    Lemp

    und außerdem da die mathematik eine wissenschaft ist die sich aus sivh selbst heraus definiert besteht die möglichkeit das 1+1 = 0 ist nicht von der hand zu weisen hierzu muss man ledilich die zahlrnreinfolge ànderen also 210345... jeder der glaubt das gegenteil beweisen zu können bitte

  48. Samstag 17.08.2013 14:47 von
    Sid

    Hallo ich glaub nicht das 1+1= 0 weil 1 also du hast ein apfel dein bruder gibt noch einen und du hast 2äpfeln bei minus ist das ggteil

  49. Mittwoch 04.09.2013 20:54 von
    lilli

    ich bin höb abber wie geht 55+105

  50. Samstag 14.12.2013 19:31 von
    Ashkan

    Ich glaube der Fehler liegt bei alle Gleichungen daran, dass sie am Anfang tautologisch sind, und es ist doch klar, dass man aus etwas tautologisches nichts logisches herleiten kann.

  51. Freitag 24.01.2014 14:24 von
    Fabian

    Genau richtig. Alle Beweise gehen von einer Tautologie aus. Das ist lernt man im ersten Semester, dass das einfach nur Scheisse ist. Wer sowas macht, hat nichts verstanden. z.B. der Beweis x(x-x) = (x+x)(x-x) bedeutet 0=0 und das ist immer wahr. Daraus kann man alles schliessen. Ein sehr krasser Fehler. Hier sollte man sich lieber überlegen, das Studium abzubrechen. Das einzige was gezeigt wurde, ist x*0 = 0 = 2x*0. Mit dieser Beweisvoraussetzung hätte ich auch beweisen können, dass Elvis und Tupac auf einer Insel vor der Schweizer Pazifikküste Kokosnüsse pflücken für Aldi.

  52. Dienstag 28.01.2014 12:22 von
    Stefan

    Die Summe aller natürlichen Zahlen(1 + 2 + 3 + 4 + ...) = - 1/12

  53. Freitag 23.05.2014 08:16 von
    Malte

    @Fabian Nein, das ist nicht einfach nur Scheisse.
    Aus einer wahren Aussage lässt sich mit gültigen Folgerungen nur eine wahre Aussage folgern.
    Wenn man es schafft aus einer wahren Aussage eine falsche Aussage zu folgern ist das ein Beweis dafür, dass die Folgerung nicht gültig ist.

    Im ersten Beispiel wurde die (auf reellen Zahlen gültige) Regel sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) angewandt und damit aus einer wahren Aussage eine falsche gemacht. Dies ist somit ein Beweis dafür, dass die Wurzelgesetze auf den komplexen Zahlen nicht anwendbar sind.


    Wenn du einen besseren Beweis dafür hast, her damit!

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